L'essentiel à connaître
Pour la moyenne, tu additionnes les valeurs et tu divises par l'effectif total $N$, c'est-à-dire le nombre de valeurs. Pour l'écart type, noté $s$ ou $\sigma$ selon les manuels, tu calcules la moyenne des carrés des écarts à la moyenne, puis tu en prends la racine carrée. Avec les notes $4$, $8$, $10$, $12$ et $16$ : $\bar{x} = \frac{50}{5} = 10$, les écarts valent $-6$, $-2$, $0$, $2$ et $6$, la moyenne de leurs carrés vaut $\frac{36 + 4 + 0 + 4 + 36}{5} = 16$, donc $s = \sqrt{16} = 4$.
Ce $16$ s'appelle la variance. Ce n'est qu'une étape : on interprète $s$, qui a l'unité des données. Plus $s$ est petit, plus la série est régulière.
Une valeur qui se répète compte autant de fois que son effectif (son nombre d'apparitions). Pour une série regroupée en classes, des intervalles de même largeur comme $[8\,;\,10[$, on remplace chaque classe par son centre, en supposant les valeurs réparties régulièrement. Pour réunir deux groupes, chaque moyenne compte autant de fois que l'effectif de son groupe : c'est une moyenne pondérée.
Formule : pour des valeurs $x_1, \dots, x_p$ d'effectifs $n_1, \dots, n_p$ et d'effectif total $N$ :
$$\bar{x} = \frac{n_1 x_1 + \dots + n_p x_p}{N} \qquad s = \sqrt{\frac{n_1 (x_1 - \bar{x})^2 + \dots + n_p (x_p - \bar{x})^2}{N}}$$
Si chaque valeur $x$ devient $ax + b$, avec $a > 0$, la moyenne devient $a\bar{x} + b$ : c'est la linéarité de la moyenne, au programme de seconde (Bulletin officiel du 2 avril 2026). L'écart type devient $as$ : ajouter $b$ décale la série sans changer les écarts à la moyenne.
À retenir : ajouter ou retirer une valeur change l'effectif. Repars de la somme des valeurs, ou de celle des carrés des écarts, puis divise par le nouvel effectif.
Piège classique : la moyenne de deux groupes n'est la moyenne de leurs moyennes que s'ils ont le même effectif. Et en physique-chimie, l'écart type expérimental divise par $N - 1$ (eduscol, 2021) ; en mathématiques, par $N$.
Quiz : teste tes connaissances
Les premières questions se font presque de tête ; les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : Sur cinq jours, Nina a mis $8$, $15$, $9$, $14$ et $14$ minutes pour aller au lycée. Quelle est la moyenne de ses temps de trajet, en minutes ?
Réponse : C. La somme vaut $8 + 15 + 9 + 14 + 14 = 60$ minutes pour $5$ trajets, donc $\bar{x} = \frac{60}{5} = 12$ minutes. Le piège A, $14$, est la valeur la plus fréquente et celle du milieu de la série rangée, pas la moyenne.
Question 2 : À un contrôle, $6$ élèves ont eu $8$, $10$ élèves ont eu $11$ et $4$ élèves ont eu $17$. Quelle est la moyenne de la classe ?
Réponse : A. Chaque note compte autant de fois que son effectif : $\frac{6 \times 8 + 10 \times 11 + 4 \times 17}{20} = \frac{226}{20} = 11{,}3$. Le piège B, $12$, est la moyenne de $8$, $11$ et $17$ sans les effectifs : le $17$ de $4$ élèves y pèse autant que le $11$ de $10$ élèves.
Question 3 : La série $5$, $9$, $5$, $9$ a pour moyenne $7$. Quel est son écart type ?
Réponse : D. Les écarts à la moyenne valent $-2$, $2$, $-2$ et $2$, et leurs carrés valent tous $4$ : la variance vaut $\frac{4 \times 4}{4} = 4$, donc $s = \sqrt{4} = 2$. Le piège A, $4$, est la variance : il manque la racine carrée.
Question 4 : Sur un $1\,000$ m, les temps en minutes se répartissent ainsi : $10$ élèves dans $[4\,;\,6[$, $10$ dans $[6\,;\,8[$ et $20$ dans $[8\,;\,10[$. Avec le centre de chaque classe, quelle est la moyenne ?
Réponse : B. Les centres valent $5$, $7$ et $9$ minutes, pour $40$ élèves : $\frac{10 \times 5 + 10 \times 7 + 20 \times 9}{40} = \frac{300}{40} = 7{,}5$ minutes. Le piège C, $7$, fait la moyenne des trois centres en oubliant que la dernière classe compte deux fois plus d'élèves.
Question 5 : Des notes sur $20$ ont pour moyenne $13$ et pour écart type $4$. Pour les ramener sur $10$, on divise chaque note par $2$. Que deviennent la moyenne et l'écart type ?
Réponse : B. Par linéarité, la moyenne devient $\frac{13}{2} = 6{,}5$. Chaque écart à la moyenne est aussi divisé par $2$, donc l'écart type devient $2$. Le piège A garde l'écart type, comme pour un décalage, alors qu'ici les écarts rétrécissent.
Question 6 : Un thermomètre mal réglé affiche toujours $2$ °C de trop. Sur une semaine, ses relevés ont pour moyenne $17$ °C et pour écart type $3$ °C. Quels sont la moyenne et l'écart type des vraies températures ?
Réponse : D. Toutes les valeurs baissent de $2$ °C : la moyenne devient $17 - 2 = 15$ °C, mais les écarts à la moyenne ne changent pas, donc l'écart type reste $3$ °C. Le piège A retire aussi $2$ à l'écart type, alors qu'un décalage ne change pas la dispersion.
Question 7 : Une série de $9$ valeurs a pour moyenne $12$. On lui ajoute la valeur $22$. Quelle est la nouvelle moyenne ?
Réponse : A. La somme des $9$ valeurs vaut $9 \times 12 = 108$. Avec la nouvelle valeur, elle passe à $130$ pour $10$ valeurs, donc la moyenne vaut $\frac{130}{10} = 13$. Le piège B fait la moyenne de $12$ et $22$, comme si l'ancienne série ne pesait qu'une valeur.
Question 8 : Sur $10$ matchs, une équipe a marqué $0$ but $2$ fois, $2$ buts $6$ fois et $4$ buts $2$ fois. La moyenne vaut $2$ buts. Quel est l'écart type ?
Réponse : C. Les écarts à la moyenne valent $-2$, $0$ et $2$, pondérés par les effectifs : la variance vaut $\frac{2 \times 4 + 6 \times 0 + 2 \times 4}{10} = 1{,}6$, et $s = \sqrt{1{,}6} \approx 1{,}26$ but. Le piège A oublie les effectifs et calcule $\sqrt{\frac{4 + 0 + 4}{3}}$, comme si chaque score n'était arrivé qu'une fois.
Question 9 : Un groupe de $30$ élèves a $11$ de moyenne, un autre groupe de $10$ élèves a $15$ de moyenne. Quelle est la moyenne des $40$ élèves ?
Réponse : D. La somme des notes vaut $30 \times 11 + 10 \times 15 = 330 + 150 = 480$ pour $40$ élèves, donc la moyenne vaut $\frac{480}{40} = 12$. Le piège A, $13$, est la moyenne des deux moyennes : elle ne marche que si les deux groupes ont le même effectif.
Question 10 : Ces quatre séries ont toutes pour moyenne $10$. Laquelle a le plus grand écart type ?
Réponse : A. Compare les sommes des carrés des écarts à $10$ : $4 \times 36 = 144$ pour A, $64 + 0 + 0 + 64 = 128$ pour B, $25 + 9 + 9 + 25 = 68$ pour C et $49 + 1 + 1 + 49 = 100$ pour D. La série A l'emporte, avec $s = \sqrt{\frac{144}{4}} = 6$. Le piège B a la plus grande étendue (plus grande valeur moins plus petite), mais ses deux valeurs égales à la moyenne ramènent son écart type à environ $5{,}66$.
Question 11 : Une série de $4$ valeurs a pour moyenne $10$ et pour écart type $3$. On lui ajoute une cinquième valeur, égale à $10$. Que vaut le nouvel écart type ?
Réponse : C. La moyenne reste $10$ et la nouvelle valeur a un écart nul : la somme des carrés des écarts vaut toujours $4 \times 3^2 = 36$, mais on la divise cette fois par $5$. La variance vaut donc $7{,}2$ et $s = \sqrt{7{,}2} \approx 2{,}68$. Le piège A suppose que rien ne bouge parce que la moyenne ne bouge pas.
Question 12 : En mathématiques, quel est l'écart type de la série $2$, $4$, $6$ ?
Réponse : B. La moyenne vaut $4$ et les carrés des écarts valent $4$, $0$ et $4$ : la variance vaut $\frac{8}{3} \approx 2{,}67$, et $s = \sqrt{\frac{8}{3}} \approx 1{,}63$. Le piège A, $2$, vient d'une division par $N - 1 = 2$ : c'est l'écart type expérimental de la physique-chimie (eduscol, 2021). Si ta calculatrice affiche deux écarts types, garde celui qui divise par $N$.
Sources
Programme de mathématiques de seconde, arrêté du 26 février 2026 : Bulletin officiel n° 14 du 2 avril 2026.
« Mesure et incertitudes au lycée », physique-chimie : eduscol, mai 2021.