Niveau : Moyen — Durée estimée : 85 min — 8 exercices avec corrections détaillées
Rappel des notions clés
La Résistance Des Matériaux (RDM) étudie la relation entre les efforts extérieurs appliqués à une pièce et les déformations qui en résultent. La notion centrale est la contrainte σ (sigma), qui représente l'intensité de la force par unité de surface (exprimée en Pascals ou N/mm²). Pour la traction et la compression, la formule est simple : σ = F / S.
Dans le domaine élastique, la déformation est proportionnelle à la contrainte selon la loi de Hooke : σ = E . ε (où E est le module de Young du matériau). Pour assurer la sécurité, on vérifie que la contrainte calculée reste inférieure à une contrainte pratique de résistance (Rp), souvent égale à la limite élastique divisée par un coefficient de sécurité.
La flexion est une sollicitation plus complexe où une poutre se courbe sous l'effet de forces perpendiculaires à son axe. Elle génère à la fois de la traction sur une face et de la compression sur l'autre. Le calcul repose sur le moment fléchissant (Mf) et le moment d'inertie (Igz) de la section de la pièce.
Formules : σ = F/S | ε = ΔL/L0 | σ_max = (Mf_max * v) / Igz
Exercices — Niveau Facile
Exercice 1 : Calcul de contrainte en traction. Un câble en acier de section S = 50 mm² supporte une charge de 5000 N. Calcule la contrainte σ subie par le câble.
Correction :
On applique σ = F / S σ = 5000 / 50 = 100 N/mm². σ = 100 MPa. (1 N/mm² = 1 MPa).
Exercice 2 : Allongement élastique. Une barre de longueur L0 = 2 m subit une traction qui provoque un allongement ΔL = 4 mm. Calcule l'allongement relatif ε.
Correction :
Attention aux unités : L0 = 2000 mm. ε = ΔL / L0 = 4 / 2000 = 0,002. ε = 0,002 (ou 0,2%). C'est une grandeur sans unité.
Exercice 3 : Vérification de sécurité. La contrainte dans une pièce est de 150 MPa. Le matériau a une limite élastique Re = 400 MPa et on impose un coefficient de sécurité s = 2. La pièce résiste-t-elle ?
Correction :
1. Calcul de la contrainte pratique : Rpe = Re / s = 400 / 2 = 200 MPa. 2. Comparaison : σ (150) < Rpe (200). Oui, la pièce résiste en toute sécurité.
Exercices — Niveau Moyen
Exercice 4 : Dimensionnement. Une colonne de support doit supporter une force de compression F = 100 000 N. La contrainte admissible du matériau est Rpe = 80 MPa. Quelle doit être la section minimale S de la colonne ?
Correction :
σ = F / S => S = F / Rpe. S = 100 000 / 80 = 1250 mm². La section minimale doit être de 1250 mm². (Soit un carré d'environ 35,4 mm de côté).
Exercice 5 : Loi de Hooke. Un fil d'aluminium (E = 70 000 MPa) de section 10 mm² est soumis à une force de 700 N. Calcule son allongement relatif ε.
Correction :
1. σ = F / S = 700 / 10 = 70 MPa. 2. σ = E * ε => ε = σ / E. 3. ε = 70 / 70 000 = 0,001. ε = 10⁻³.
Exercice 6 : Moment de flexion. Une poutre de longueur L = 4 m est encastrée à une extrémité et supporte une force F = 500 N à l'autre extrémité. Calcule le moment fléchissant maximum Mf_max.
Correction :
Le moment est maximum à l'encastrement : Mf = F * L. Mf = 500 * 4 = 2000 N.m. Mf_max = 2000 N.m.
Exercices — Niveau Difficile
Exercice 7 : Contrainte de flexion. Pour la poutre de l'exercice 6, on utilise une section rectangulaire de largeur b=20mm et hauteur h=60mm. (Igz = b.h³/12 et v=h/2). Calcule la contrainte maximale σ_max.
Correction :
1. Igz = (20 * 60³) / 12 = 360 000 mm⁴. 2. v = h / 2 = 30 mm. 3. Mf_max = 2000 N.m = 2 000 000 N.mm. 4. σ = (Mf v) / Igz = (2 000 000 30) / 360 000 ≈ 166,7 MPa. σ_max ≈ 167 MPa.
Exercice 8 : Choix de matériau. On hésite entre l'acier (E=210 GPa) et le plastique (E=3 GPa) pour une pièce devant se déformer le MOINS possible sous une charge donnée. Lequel choisir ? Justifie avec la loi de Hooke.
Correction :
Selon la loi de Hooke ε = σ / E. Pour une contrainte σ donnée, plus E est grand, plus ε est petit. L'acier ayant un module de Young beaucoup plus élevé, il est beaucoup plus rigide. Il faut choisir l'acier. Il se déformera 70 fois moins que le plastique pour le même effort.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : La RDM est une question d'équilibre entre la géométrie de la pièce (S, Igz) et les propriétés du matériau (E, Re). En flexion, la hauteur de la pièce est le paramètre le plus influent car elle intervient au cube dans le calcul de l'inertie. Soigne toujours tes conversions d'unités (mm et N sont tes meilleurs amis pour obtenir des MPa).
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