L'essentiel à connaître
Pour additionner ou soustraire deux fractions, mets-les au même dénominateur (le nombre du bas), puis additionne ou soustrais les numérateurs (ceux du haut) en gardant ce dénominateur : $\frac{1}{6} + \frac{3}{4} = \frac{2}{12} + \frac{9}{12} = \frac{11}{12}$. Pour multiplier, pas besoin de dénominateur commun : numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux, $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$. Pour diviser par une fraction, multiplie par son inverse, la fraction renversée : $\frac{2}{5} \div \frac{3}{7} = \frac{2}{5} \times \frac{7}{3} = \frac{14}{15}$.
Une fraction garde sa valeur si tu multiplies ou divises son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul : c'est ainsi qu'on la simplifie, $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$. Elle est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont plus que $1$ comme diviseur commun. Une fraction est aussi un quotient, le résultat d'une division : $\frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0,75$, et ce quotient permet de comparer des fractions. Un entier s'écrit aussi en fraction : $1 = \frac{7}{7}$, $3 = \frac{3}{1}$.
Prendre une fraction d'une quantité, c'est multiplier : les $\frac{3}{5}$ de $40$ font $\frac{3}{5} \times 40 = 24$, car $40 \div 5 = 8$ et $8 \times 3 = 24$. « La moitié de ce qui reste » se calcule sur le reste, pas sur le tout. Dans un calcul enchaîné, multiplications et divisions passent avant additions et soustractions, sauf parenthèses.
Définition : L'inverse d'un nombre $a$ non nul est le nombre qui, multiplié par $a$, donne $1$. L'inverse de $\frac{3}{4}$ est $\frac{4}{3}$, car $\frac{3}{4} \times \frac{4}{3} = 1$ ; ne le confonds pas avec l'opposé, $-\frac{3}{4}$. Pour l'inverse d'une somme, calcule d'abord la somme.
Piège classique : on ne barre que des facteurs (des nombres multipliés), jamais des termes (des nombres additionnés). Dans $\frac{2 \times 5}{2 \times 9}$, tu peux barrer les $2$ ; dans $\frac{2 + 5}{2 + 9}$, calcule d'abord le haut et le bas : $\frac{7}{11}$.
Si tu es en 5e, le produit, l'inverse et le quotient de fractions viendront en 4e : c'est là que les placent les exemples officiels du ministère pour le programme de cycle 4, appliqué en 5e depuis la rentrée 2026 et en 4e à la rentrée 2027.
Quiz : teste tes connaissances
Les questions montent en difficulté : les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : Quelle fraction est égale à $\frac{2}{3}$ ?
Réponse : C. Le numérateur et le dénominateur sont multipliés par le même nombre, $5$ : $\frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{10}{15}$. Le piège A ajoute $5$ en haut et en bas, ce qui change la valeur : $\frac{7}{8} = 0,875$, alors que $\frac{2}{3}$ est inférieur à $0,7$.
Question 2 : Quelle est la forme irréductible de $\frac{12}{18}$ ?
Réponse : A. $12$ et $18$ se divisent tous les deux par $6$ : $\frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$, et $2$ et $3$ n'ont plus que $1$ comme diviseur commun. Le piège B est bien égal à $\frac{12}{18}$, mais $6$ et $9$ se divisent encore par $3$ : la simplification n'est pas finie.
Question 3 : Calcule $\frac{3}{7} + \frac{2}{7}$.
Réponse : D. Les dénominateurs sont déjà égaux : tu additionnes les numérateurs, $3 + 2 = 5$, et tu gardes $7$. Le piège A additionne aussi les dénominateurs ; or trois septièmes plus deux septièmes font cinq septièmes, car la taille des parts ne change pas.
Question 4 : Combien valent les $\frac{2}{3}$ de $30$ euros ?
Réponse : B. $\frac{2}{3} \times 30 = (30 \div 3) \times 2 = 20$ : un tiers vaut $10$ euros, deux tiers $20$ euros. Le piège A s'arrête à $30 \div 3$ : il donne un seul tiers et oublie de multiplier par le numérateur $2$.
Question 5 : Calcule $1 - \frac{2}{7}$.
Réponse : A. Écris $1$ avec le dénominateur $7$ : $\frac{7}{7} - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$. Le piège B remplace $1$ par $\frac{1}{7}$, qui ne vaut qu'un septième : l'unité entière, c'est $\frac{7}{7}$.
Question 6 : Calcule $\frac{1}{4} + \frac{1}{6}$.
Réponse : C. $12$ est un multiple commun de $4$ et de $6$ : $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$ et $\frac{1}{6} = \frac{2}{12}$, d'où $\frac{5}{12}$. Le piège A additionne numérateurs et dénominateurs ; il donne $\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$, plus petit que $\frac{1}{4}$ tout seul, ce qui est impossible pour une somme de deux nombres positifs.
Question 7 : Laquelle de ces fractions est la plus grande ?
Réponse : D. Compare les quotients : $\frac{3}{4} = 0,75$, $\frac{5}{7} \approx 0,71$, $\frac{7}{10} = 0,7$ et $\frac{2}{3} \approx 0,67$ (le signe $\approx$ veut dire « environ »). Le piège A attire parce que ses nombres sont les plus grands, mais seul le quotient du numérateur par le dénominateur compte.
Question 8 : Calcule $\frac{2}{3} \times \frac{4}{3}$.
Réponse : B. Pour un produit, numérateurs entre eux et dénominateurs entre eux : $\frac{2 \times 4}{3 \times 3} = \frac{8}{9}$. Le piège A garde le dénominateur commun comme dans une addition ; or ce réflexe ne sert qu'à additionner ou soustraire.
Question 9 : Calcule $3 \times \frac{2}{5}$.
Réponse : A. $3 = \frac{3}{1}$, donc $3 \times \frac{2}{5} = \frac{3 \times 2}{1 \times 5} = \frac{6}{5}$ : trois fois deux cinquièmes font six cinquièmes. Le piège B multiplie aussi le dénominateur par $3$ ; or $\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$, la fraction de départ, comme si tu n'avais rien multiplié.
Question 10 : Il reste les $\frac{3}{4}$ d'un gâteau et tu en manges les $\frac{2}{3}$. Quelle fraction du gâteau entier as-tu mangée ?
Réponse : D. « Les $\frac{2}{3}$ de » se traduit par une multiplication : $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$. Le piège B additionne les deux fractions et dépasse $1$, soit plus que le gâteau entier, alors que tu n'en as mangé qu'une partie.
Question 11 : Calcule $\frac{3}{4} \div \frac{1}{2}$.
Réponse : C. Diviser par $\frac{1}{2}$, c'est multiplier par son inverse $2$ : $\frac{3}{4} \times 2 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$. Le piège A multiplie par $\frac{1}{2}$, ce qui revient à diviser par $2$ ; or diviser par une moitié, c'est chercher combien de moitiés tiennent dans $\frac{3}{4}$, et il y en a une et demie.
Question 12 : Calcule $\frac{7}{4} - \frac{3}{4} \times \frac{2}{3}$.
Réponse : B. La multiplication passe en premier : $\frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$, puis $\frac{7}{4} - \frac{1}{2} = \frac{7}{4} - \frac{2}{4} = \frac{5}{4}$. Le piège A commence par la soustraction, $\frac{7}{4} - \frac{3}{4} = 1$, puis multiplie par $\frac{2}{3}$ : sans parenthèses, cet ordre est faux.
Question 13 : Simplifie au maximum $\frac{3 + 5}{3 + 7}$.
Réponse : D. Calcule d'abord le haut et le bas : $\frac{3 + 5}{3 + 7} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$. Le piège A barre les deux $3$, mais ce sont des termes d'une somme : barrer n'est permis que dans un produit, comme $\frac{3 \times 5}{3 \times 7} = \frac{5}{7}$.
Question 14 : Tom mange les $\frac{2}{5}$ d'une tablette de chocolat, puis sa sœur mange la moitié de ce qui reste. Quelle fraction de la tablette entière a-t-elle mangée ?
Réponse : A. Après Tom, il reste $1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ de la tablette, et sa sœur en mange la moitié : $\frac{1}{2} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{10}$. Le piège B prend la moitié de la tablette entière, alors que l'énoncé parle de la moitié du reste.
Question 15 : Quel est l'inverse de la somme $\frac{1}{3} + \frac{2}{5}$ ?
Réponse : C. La somme d'abord : $\frac{1}{3} + \frac{2}{5} = \frac{5}{15} + \frac{6}{15} = \frac{11}{15}$, dont l'inverse est $\frac{15}{11}$. Le piège B inverse chaque terme, $3 + \frac{5}{2} = \frac{11}{2}$ : l'inverse d'une somme n'est pas la somme des inverses.
Sources
Ministère de l'Éducation nationale, Exemples pour la mise en œuvre des programmes de mathématiques, cycle 4, 2026 (copie publiée par l'académie de Strasbourg), parties « Nombres rationnels » de 5e et de 4e.
Légifrance, arrêté du 18 février 2026 fixant les programmes de français et de mathématiques du cycle 4, article 3 (calendrier d'application).