Le travail d'une force constante $\vec{F}$, quand le système se déplace en ligne droite de $A$ à $B$, vaut $W_{AB}(\vec{F}) = \vec{F}\cdot\overrightarrow{AB} = F \times AB \times \cos\alpha$, où $\alpha$ est l'angle entre la force et le déplacement. Tu tires une valise sur 50 m avec une force de 40 N, la poignée inclinée de 60° par rapport au sol : $W = 40 \times 50 \times \cos 60^\circ = 1\,000$ J.
Ce travail, c'est l'énergie que ta force transfère à la valise. La somme des travaux de toutes les forces donne la variation d'énergie cinétique, donc de vitesse, et l'énergie mécanique mesure ce que les frottements font perdre en route.
Le travail d'une force constante
Le travail s'exprime en joules (J) : une force de 1 N qui pousse sur 1 m, dans le sens du mouvement, transfère 1 J.
Formule : pour une force constante $\vec{F}$ et un déplacement rectiligne de $A$ à $B$,
$$W_{AB}(\vec{F}) = \vec{F}\cdot\overrightarrow{AB} = F \times AB \times \cos\alpha$$
avec $F$ en newtons (N), $AB$ en mètres (m), $W_{AB}$ en joules (J), et $\alpha$ l'angle entre $\vec{F}$ et $\overrightarrow{AB}$.
Pourquoi un cosinus ? Seule la part de la force orientée dans la direction du déplacement compte. Une force perpendiculaire au mouvement ne fait ni augmenter ni baisser la vitesse : elle ne transfère aucune énergie. Le produit scalaire fait exactement ce tri, il ne garde que la projection de $\vec{F}$ sur la direction de $\overrightarrow{AB}$.
Le signe du cosinus donne la nature du travail. Si $\alpha$ est inférieur à 90°, le travail est positif, on dit moteur : la force aide le mouvement. Si $\alpha = 90^\circ$, il est nul : la force ne travaille pas, comme le poids d'une valise qui roule sur un sol horizontal, ou la réaction normale du sol, la force qu'il exerce perpendiculairement à sa surface. Si $\alpha$ dépasse 90°, le travail est négatif, on dit résistant : la force freine le mouvement.
Piège classique : $\alpha$ est l'angle entre la force et le déplacement, pas l'inclinaison de la pente. Pour un skieur qui descend une piste inclinée de 30°, le poids est vertical et le déplacement suit la pente : l'angle entre les deux vaut $90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Dessine les deux flèches partant du même point avant de lire l'angle.
Le travail du poids et celui des frottements
Le poids $\vec{P}$ est vertical, vers le bas, et vaut $P = mg$, avec $g = 9{,}81$ N/kg près de la surface de la Terre. Prends un axe $(Oz)$ vertical orienté vers le haut : $\vec{P}$ a pour coordonnées $(0\,;-mg)$ et $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(x_B - x_A\,;z_B - z_A)$, donc :
$$W_{AB}(\vec{P}) = 0 \times (x_B - x_A) + (-mg)(z_B - z_A) = mg(z_A - z_B)$$
Seule la différence d'altitude compte, et comme le poids est constant, le chemin n'y change rien : tout droit ou en zigzag, le skieur reçoit le même travail de son poids entre le haut et le bas. Une force dont le travail ne dépend que du point de départ et du point d'arrivée, pas du chemin suivi, est dite conservative.
Formule : l'énergie potentielle de pesanteur, celle que le système possède du fait de son altitude, vaut $E_{pp} = mgz$, en joules, avec $m$ en kg, $g$ en N/kg et $z$ en m, sur l'axe vertical orienté vers le haut. Alors $W_{AB}(\vec{P}) = E_{pp}(A) - E_{pp}(B)$ : quand le système descend, le poids travaille positivement et $E_{pp}$ diminue d'autant.
L'origine de l'axe, là où $z = 0$, se choisit librement : le sol, ou le point le plus bas du mouvement. Ce choix change la valeur de $E_{pp}$, jamais ses variations. Une énergie potentielle négative n'a donc rien d'anormal : le système est simplement sous l'origine choisie.
Une force de frottement $\vec{f}$ d'intensité constante, sur une trajectoire rectiligne, est opposée au déplacement. L'angle vaut 180° et $\cos 180^\circ = -1$, donc :
$$W_{AB}(\vec{f}) = -f \times AB$$
Ce travail est toujours négatif, et proportionnel à la longueur parcourue : sur un trajet deux fois plus long, les frottements prennent deux fois plus d'énergie. Il dépend du chemin, donc les frottements ne sont pas une force conservative.
Le théorème de l'énergie cinétique
Un système modélisé par un point matériel, c'est-à-dire réduit à un point qui porte toute sa masse $m$ (en kg), possède à la vitesse $v$ (en m/s) une énergie cinétique $E_c = \dfrac{1}{2}mv^2$, en joules. Elle double quand la masse double, et quadruple quand la vitesse double.
Théorème : dans un référentiel galiléen, la variation d'énergie cinétique d'un système entre $A$ et $B$ est égale à la somme des travaux de toutes les forces qui s'exercent sur lui :
$$E_c(B) - E_c(A) = \sum W_{AB}(\vec{F})$$
Un référentiel galiléen est un référentiel où le principe d'inertie s'applique ; pour un mouvement bref sur Terre, le sol convient. Vois ce théorème comme un compte en banque : chaque force qui travaille dépose de l'énergie (travail moteur) ou en retire (travail résistant), et le solde se lit sur la vitesse. Somme positive, le système accélère ; somme négative, il ralentit ; somme nulle, sa vitesse ne change pas.
L'énergie mécanique, conservée ou non
L'énergie mécanique additionne l'énergie cinétique et l'énergie potentielle de pesanteur : $E_m = E_c + E_{pp}$. Son bilan se déduit du théorème de l'énergie cinétique, qui s'écrit $\Delta E_c = W_{AB}(\vec{P}) + \sum W_{AB}(\vec{F}_{\text{nc}})$, où le dernier terme regroupe les travaux des autres forces, dites non conservatives (frottements, réaction d'un support, tension d'un fil, poussée d'un moteur). Comme $W_{AB}(\vec{P}) = -\Delta E_{pp}$, il reste $\Delta E_c + \Delta E_{pp} = \sum W_{AB}(\vec{F}_{\text{nc}})$, c'est-à-dire :
Propriété : entre $A$ et $B$,
$$\Delta E_m = E_m(B) - E_m(A) = \sum W_{AB}(\vec{F}_{\text{nc}})$$
La variation d'énergie mécanique est égale à la somme des travaux des forces non conservatives. Quand ces forces ne travaillent pas, l'énergie mécanique se conserve : $E_m(A) = E_m(B)$.
Quand seul le poids travaille, l'énergie passe d'une forme à l'autre sans perte : une balle qui monte perd de l'énergie cinétique et gagne autant d'énergie potentielle. Avec des frottements, $\Delta E_m$ est négatif : l'énergie mécanique est dissipée, le plus souvent en énergie thermique (les surfaces qui frottent s'échauffent). Un moteur peut au contraire la faire augmenter.
Le programme de spécialité physique-chimie de Première (partie « Aspects énergétiques des phénomènes mécaniques ») cite justement la chute libre et le pendule sans frottement comme cas simples à savoir traiter : ce sont les exercices 3 et 4.
Piège classique : ne compte jamais le poids deux fois. Avec le théorème de l'énergie cinétique, le poids est une force comme les autres et son travail entre dans la somme. Avec l'énergie mécanique, il est déjà dans $E_{pp}$ : seuls les travaux des forces non conservatives restent à écrire.
La méthode, étape par étape
Étape 1 : Choisis le système et le référentiel (terrestre), puis le point de départ $A$ et le point d'arrivée $B$.
Étape 2 : Fais l'inventaire des forces et dessine-les avec le déplacement.
Étape 3 : Calcule le travail de chaque force entre $A$ et $B$. Une force perpendiculaire au déplacement donne zéro, sans calcul.
Étape 4 : Écris le bilan : théorème de l'énergie cinétique, ou énergie mécanique, plus rapide quand seul le poids travaille car elle passe de l'altitude à la vitesse sans aucun angle. Isole l'inconnue, puis contrôle le signe et l'unité.
Exercices corrigés
Du plus direct au niveau d'un contrôle. Cherche chacun sur ta feuille avant d'ouvrir la correction. On prend $g = 9{,}81$ N/kg.
Exercice 1 : Un carton glisse sur 8,0 m en ligne droite sur un sol horizontal. Il est tiré par une corde qui fait un angle de 30° avec le sol et exerce une force de 50 N. Les frottements du sol, opposés au mouvement, valent 35 N. Calcule le travail de la corde, des frottements, du poids et de la réaction normale du sol, en précisant s'il est moteur, résistant ou nul. Le carton accélère-t-il ?
Correction :
La force $\vec{T}$ de la corde fait un angle de 30° avec le déplacement : $W_{AB}(\vec{T}) = 50 \times 8{,}0 \times \cos 30^\circ \approx 346$ J, travail moteur.
Les frottements sont opposés au déplacement : $W_{AB}(\vec{f}) = -35 \times 8{,}0 = -280$ J, travail résistant.
Le poids et la réaction normale sont verticaux, donc perpendiculaires au déplacement : travail nul pour les deux.
Somme des travaux : $346 - 280 = 66$ J. Elle est positive : d'après le théorème de l'énergie cinétique, le carton accélère.
Exercice 2 : Un enfant assis sur sa luge part sans vitesse du haut d'une pente rectiligne longue de 50 m, dont l'arrivée se trouve 8,0 m plus bas que le départ. L'ensemble a une masse de 30 kg, et les frottements de la neige et de l'air équivalent à une force constante de 20 N, opposée au mouvement. Calcule la vitesse de la luge en bas de la pente.
Correction :
Système : l'enfant et sa luge, dans le référentiel terrestre. Trois forces s'exercent : le poids, la réaction normale de la neige et les frottements.
Poids : $W_{AB}(\vec{P}) = mg(z_A - z_B) = 30 \times 9{,}81 \times 8{,}0 \approx 2\,354$ J. C'est la dénivellation de 8,0 m qui compte, pas les 50 m de pente.
Réaction normale : perpendiculaire à la pente, donc au déplacement, travail nul.
Frottements : $W_{AB}(\vec{f}) = -f \times AB = -20 \times 50 = -1\,000$ J. Ici, c'est la longueur parcourue qui compte.
Théorème de l'énergie cinétique, avec $E_c(A) = 0$ : $\dfrac{1}{2}mv_B^2 = 2\,354 - 1\,000 = 1\,354$ J, donc
$$v_B = \sqrt{\dfrac{2 \times 1\,354}{30}} \approx 9{,}5 \text{ m/s}$$
soit environ 34 km/h.
Exercice 3 : Un ballon de basket de 600 g est lâché sans vitesse depuis une passerelle, à 12,0 m au-dessus du sol. L'origine des altitudes est prise au sol.
1. En négligeant les frottements de l'air, calcule la vitesse du ballon quand il touche le sol.
2. Une vidéo montre qu'il arrive en réalité à 13,5 m/s. Calcule la variation de son énergie mécanique, puis le travail des frottements de l'air.
Correction :
1. Sans frottement, seul le poids travaille : l'énergie mécanique se conserve. Au départ, $E_c = 0$ et $E_{pp} = mgz_A$ ; au sol, $E_{pp} = 0$. Donc $mgz_A = \dfrac{1}{2}mv_B^2$, et la masse se simplifie :
$$v_B = \sqrt{2gz_A} = \sqrt{2 \times 9{,}81 \times 12{,}0} \approx 15{,}3 \text{ m/s}$$
Sans frottement, un ballon et une bille lâchés de la même hauteur arrivent donc à la même vitesse.
2. Avec $m = 0{,}600$ kg : $E_m(A) = mgz_A = 0{,}600 \times 9{,}81 \times 12{,}0 = 70{,}632$ J et $E_m(B) = \dfrac{1}{2} \times 0{,}600 \times 13{,}5^2 = 54{,}675$ J.
La variation vaut $\Delta E_m = 54{,}675 - 70{,}632 \approx -16{,}0$ J. D'après la propriété de l'énergie mécanique, c'est le travail des frottements de l'air : $W_{AB}(\vec{f}) \approx -16{,}0$ J. Il est négatif : environ 16 J ont été dissipés pendant la chute.
Exercice 4 : Une bille de 50 g est accrochée à un fil de 40 cm. On écarte le fil de 30° par rapport à la verticale, puis on lâche la bille sans vitesse. On néglige les frottements. Calcule la vitesse de la bille quand elle passe au point le plus bas.
Correction :
Deux forces : le poids et la tension du fil, c'est-à-dire la force que le fil exerce sur la bille. La tension est à chaque instant perpendiculaire au mouvement, qui suit un arc de cercle : elle ne travaille pas. Sans frottement, l'énergie mécanique se conserve.
Le piège est la hauteur de chute. Note $L = 0{,}40$ m la longueur du fil : la hauteur n'est ni $L$, ni $L \sin 30^\circ$. Au départ, la bille est à $L\cos 30^\circ$ sous le point d'attache ; au point le plus bas, elle est à $L$ en dessous. Elle descend donc de :
$$h = L - L\cos 30^\circ = 0{,}40 \times (1 - \cos 30^\circ) \approx 0{,}0536 \text{ m}$$
soit environ 5,4 cm. Avec $\dfrac{1}{2}mv^2 = mgh$, la masse se simplifie : $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9{,}81 \times 0{,}0536} \approx 1{,}03$ m/s. Les 50 g ne servaient à rien.
À retenir
À retenir :
- $W_{AB}(\vec{F}) = F \times AB \times \cos\alpha$, en joules, avec $\alpha$ l'angle entre la force et le déplacement.
- Poids : $W_{AB}(\vec{P}) = mg(z_A - z_B)$, seule la dénivellation compte.
- Frottements d'intensité constante sur un trajet rectiligne : $W_{AB}(\vec{f}) = -f \times AB$, la longueur compte.
- $E_c(B) - E_c(A) = \sum W_{AB}(\vec{F})$, toutes les forces comprises.
- $E_m = E_c + E_{pp}$ avec $E_{pp} = mgz$ ; $\Delta E_m$ vaut le travail des forces non conservatives et reste nul quand elles ne travaillent pas.
Sources
- Programme de physique-chimie de première générale (enseignement de spécialité), partie « Aspects énergétiques des phénomènes mécaniques », Bulletin officiel spécial n° 1 du 22 janvier 2019 : texte sur education.gouv.fr.